← уравнения и матрицы ›Студент, решающий задачи по линейной алгебре · Пошагово
26 мая 2026 г. · 3 мин чтения
Как посчитать определитель матрицы 3x3 пример
Определитель матрицы 3×3 вычисляется по правилу Саррюса: det(A) = a₁₁·a₂₂·a₃₃ + a₁₂·a₂₃·a₃₁ + a₁₃·a₂₁·a₃₂ – a₁₃·a₂₂·a₃₁ – a₁₂·a₂₁·a₃₃ – a₁₁·a₂₃·a₃₂. Например, для матрицы с первой строкой [1; 2; 3], второй [4; 5; 6] и третьей [7; 8; 9] определитель равен 0.
Что понадобится для расчёта
Для вычисления определителя квадратной матрицы 3×3 достаточно знать девять её элементов. Матрица записывается в виде таблицы 3 на 3: a₁₁, a₁₂, a₁₃ в первой строке; a₂₁, a₂₂, a₂₃ во второй; a₃₁, a₃₂, a₃₃ в третьей. Вам понадобится ручка и лист бумаги, либо любой калькулятор, поддерживающий арифметические действия.
Пошаговый расчёт — 6 шагов
- 1Шаг 1: Запишите матрицу и выберите методПусть дана матрица A: [[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]]. Определитель можно найти двумя способами: по правилу Саррюса (проще) или разложением по строке/столбцу. В этом примере используем правило Саррюса. Для наглядности запишите матрицу на бумаге, подписав индексы элементов.
- 2Шаг 2: Повторите первые два столбца справаПо правилу Саррюса, допишите справа от матрицы первый и второй столбцы ещё раз. Получится строка из 5 столбцов: [1,2,3,1,2]; [4,5,6,4,5]; [7,8,9,7,8]. Это нужно, чтобы легко перемножать элементы по диагоналям.
- 3Шаг 3: Найдите три произведения по главным диагоналям (слева направо, сверху вниз)Первая диагональ: a₁₁·a₂₂·a₃₃ = 1·5·9 = 45. Вторая: a₁₂·a₂₃·a₃₁ = 2·6·7 = 84. Третья: a₁₃·a₂₁·a₃₂ = 3·4·8 = 96. Сложите их: 45 + 84 + 96 = 225.
- 4Шаг 4: Найдите три произведения по побочным диагоналям (справа налево, сверху вниз)Первая побочная: a₁₃·a₂₂·a₃₁ = 3·5·7 = 105. Вторая: a₁₂·a₂₁·a₃₃ = 2·4·9 = 72. Третья: a₁₁·a₂₃·a₃₂ = 1·6·8 = 48. Сложите их: 105 + 72 + 48 = 225.
- 5Шаг 5: Вычтите сумму побочных произведений из суммы главныхОпределитель = (сумма главных) – (сумма побочных) = 225 – 225 = 0. Таким образом, det(A) = 0. Это означает, что матрица вырождена (строки линейно зависимы).
- 6Шаг 6: Проверьте разложением по первой строке (альтернативный метод)Разложение по первой строке: det = a₁₁·C₁₁ + a₁₂·C₁₂ + a₁₃·C₁₃, где C₁₁ = +det[[5,6],[8,9]] = 5·9 – 6·8 = 45 – 48 = –3; C₁₂ = –det[[4,6],[7,9]] = –(4·9 – 6·7) = –(36 – 42) = +6; C₁₃ = +det[[4,5],[7,8]] = 4·8 – 5·7 = 32 – 35 = –3. Тогда det = 1·(–3) + 2·6 + 3·(–3) = –3 + 12 – 9 = 0. Результат совпадает.
Частые ошибки при расчёте
Путают знаки при разложении по строке: для элемента a₁₂ знак минус (минор умножается на –1).
Неправильно дописывают столбцы в правиле Саррюса — забывают, что нужно два столбца, а не один.
Ошибаются в арифметике: например, 2·6·7 = 84, но иногда считают как 2·6=12, 12·7=84 — верно; но бывает путают порядок умножения.
Частые вопросы
Чем отличается правило Саррюса от разложения по строке?
Правило Саррюса работает только для матриц 3×3 и требует дописывания столбцов. Разложение по строке универсально для любого размера. Оба метода дают одинаковый результат: для матрицы с элементами 1,2,3;4,5,6;7,8,9 определитель равен 0.
Что делать, если определитель равен нулю?
Это означает, что матрица вырождена — её строки или столбцы линейно зависимы. Например, в нашем примере третья строка равна сумме второй и первой? Нет, но строки зависимы: (7,8,9) = 2*(4,5,6) – (1,2,3)? Проверим: 2*4-1=7, 2*5-2=8, 2*6-3=9 — да, зависимость есть.
Как проверить правильность вычислений?
Используйте другой метод (например, разложение по другой строке) или онлайн-калькулятор. Для матрицы 3×3 можно также вычислить определитель через миноры: det = a₁₁·(a₂₂·a₃₃ – a₂₃·a₃₂) – a₁₂·(a₂₁·a₃₃ – a₂₃·a₃₁) + a₁₃·(a₂₁·a₃₂ – a₂₂·a₃₁).
Можно ли считать определитель для матриц большего размера?
Да, но правило Саррюса для них не работает. Используйте разложение по строке или приведение к треугольному виду. Для матрицы 4×4 потребуется вычислить четыре определителя 3×3.
Зачем вообще нужен определитель?
Определитель используется для решения систем линейных уравнений (правило Крамера), нахождения обратной матрицы, проверки линейной независимости векторов. В примере с матрицей с нулевым определителем система уравнений не имеет единственного решения.